Modern Algebra 读书笔记

Modern Algebra 读书笔记

Introduction

本文是Introduction to Modern Algebra(David Joyce, Clark University)的读书笔记。

符号(Notation)

术语

• 特征元素(identity element) 别名：neutral element. For a binary operation is an element in the set that doesn't change the value of other elements when combined with then under the operation. 0 is the identity element for addition. 1 is the identity element for multiplication.
• Inverse elements For addition, -x is the inverse element of x, since -x + x = 0. For multiplication, 1/x is the inverse element of x, since 1/x * x = 1.
• Algebraic structure an algebraic structure is a set (called carrier set or underlying set) with one or more finitary operations defined on it that satisfies a list of axioms.

代数结构的比较概念

• 态射(morphism) 记做：f : A \to B 。可以认为是两个域(domain)或集合中元素的映射关系。 这个词太哲学化，在数学上的含义，可以简单地理解为映射函数。有人用 morphism = arrow + function。 在抽象代数中讨论了一个集合间映射函数的关系。
• 同构(isomorphisms) 代数结构A和B相同，除了它们的元素有不同的名字，可以认为这两个代数结构同构，记做：$f : A \cong B $。
• 同态(homomorphisms) 代数结构A和B不同，但是存在一种元素的映射关系，可以认为这两个代数结构同态，记做：f : A \to B 。
• 单同态(monomorphisms) 当同态函数f : A \to B 是一个单射(injective)函数，称之为一个单同态。
• 满同态(epimorphisms) 当同态函数f : A \to B 是一个满射(surjective)函数，称之为一个满同态。
• 自同态(endomorphisms) 如果一个代数结构A和自己同态，f : A \to A ，称之为自同态。
• 自同构，自守(automorphisms) 如果一个代数结构A和自己同构，f : A \cong A ，称之为自同构。
• 单射(injection(one-to-one)) 值域(codomain)中的每个元素最多只有一个主域(domain)元素与之对应的函
• 满射(surjection(onto)) 值域(codomain)中的每个元素最少有一个主域(domain)元素与之对应的函数。
• 双射(bijection(one-to-one + onto)) 值域(codomain)中的每个元素都有一个（且只有一个）主域(domain)元素与之对应的函数。

代数结构 - 域(Field)

• 域(Field) 一个域由一个集合和对应的操作组成。具有以下性质：
  • 有二元操作：addition, multiplication。（具有封闭性。）
  • addition 具有 commutativity 和 associativity。
  • multiplication 具有 commutativity 和 associativity。
  • multiplication 在 addition 上具有 distributivity。
  • addition 的 identity element是0，每个元素都有addition的反元素。
  • multiplication 的 identity element是1，每个元素(0除外)都有multiplication的反元素。
  • 0 \neq 1 非正式的说，域具有加减乘除四个操作。
• Subtraction The different of tow elements x and y is defined as x - y = x + (-y) .
• Division The quotient of tow elements x and a nonzero element y is defined as xy^{-1} = x / y .
• 同余模于n(congruence modulo n) 两个整数 x 和 y 同余模于n，就是说n可以被x-y的差整除。记做：x \equiv y (mod n).
• 循环环Z_n (The cyclic ring Z_n) Z_n is a set of equivalence classes of integers under the equivalence relation which is congruence modulo n. 有两种理解方式： A: 认为Z_n的元素是 0 到 n-1,任何操作的结果，需要对n求余，匹配到0到n-1这个范围。 Z_6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}。

B: 每个整数通过求余数，被重命名为一个新的整数。 Z_n也可以表示为：Z_6 = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}。

• 环的特征值(The characteristic of a ring) 如果1的某个倍数是0，这个最小倍数就是这个环的特征值。如果在一个环中，1的倍数总不是0，则这个环的特征值为0。
• 定理: The cyclic ring Z_n is a field if and only if n is a prime. 当且仅当循环环的特征值是一个质数时，这个循环环是一个域。
• 代数数(algebraic numbers) 如果一个数是一个有理数系数的多项式的解，则这个数是代数数。
• 超越数(transcendental numbers) 如果一个数不是任何有理数系数的多项式的解，则这个数是超越数。
• 代数式域扩张(algebraic field extensions) 如果x满足多项式f(x) = 0，多项式f的系数在域F，则x是在F的代数。 所有的x组成域F'，被称为F的域扩张。 域扩张仍是一个域。
• 超越式域扩张(transcendental field extensions) 如果F的域扩张不是代数式的，则这个域扩张为超越式域扩张。
• 共轭(conjugation) 符号：\overline{C} Complex conjugation: \overline{x + yi} = x - yi \overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b} \overline{ab} = \overline{a} \overline{b}
• 基(norm) |z|^2 = z \overline{z}
• A matrix representation of C \begin{bmatrix} x & y \\ -y & x \end{bmatrix} \ where \ x, y \in R
• 有序域(ordered fields) An ordered field consists of a field F along with a subset P whose elements are called positive such that

1. F is partitioned into three parts: P, {0} and N where N = {x \in F | - x \in P} the elements of N are called negative;
2. the sum of tow positive elements is positive;
3. the product of two positive elements is positive.

环(Ring)

• 环(Ring) 一个环由一个集合和对应的操作组成。具有以下性质：
  • 有二元操作：addition, multiplication。（具有封闭性。）
  • addition 具有 commutativity 和 associativity。
  • multiplication 具有 associativity。
  • multiplication 在 addition 上具有 distributivity。
  • addition 的 identity element是0，每个元素都有addition的反元素。
  • multiplication 的 identity element是1。 非正式的说，环具有加减乘三个操作。
• 交换性环(commutative ring) 如果一个环的乘法具有 commutativity，这个环是交换性环(commutative ring)。
• 幂等(Idempotent) 当一个元素e，有e^2 = e，则这个元素是幂等的。
• 0因子(zero-divisor) 在一个具有交换性的环中，对于一个非0元素x，如果存在一个非0元素y，有xy = 0，则元素x为0因子。
• 整环(Integral Domain) 整环是一个具有交换性的环D，在环D中，0 \neq 1，满足条件： 1：没有0因子(zero-divisors), 2：或者满足消除律。 条件1和2实际上是等价的。 对于Z[n]，就是n为质数的环。 定理(Wedderburn)：有限元素的整环是一个域。(因为任何非0元素都有乘法反元素)
• 高斯整数(Gaussian Integers), Z[i]

x + yi \text{ where } x, y \in \mathbb{Z}是一个整环(Integral Domain)。

• 艾森斯坦整数(Eisenstein Integers), Z[i] x + y \omega \text{ where } \omega = \frac{1}{2} ( -1 + i \sqrt{3}) = e^{2\pi i/3}是一个整环(Integral Domain)。

布尔环

将逻辑理论带入代数环理论中： 1 = true \\ 0 = false \\ xy = P \land Q \\ x + y = P \oplus Q \\ x + y + xy = P \lor Q \\ 1 + x = \lnot P

• Boolean Rings An element e of a ring is said to be idempotent which \(e^2 = e\). If every element in a ring is idempotent, then the ring is called a Boolean ring. 我的理解是：布尔环的每个元素的值要么是0（false），要么是1（true）。因为只有0和1的平方才等于自身（幂等）。 当然，在一个布尔环中允许0和1以外的元素存在，这些元素对应逻辑理论中的命题(proposition)，命题常量，或者也可以是谓词(predicate)等。

核(Kernels)，理想(ideal)和商环(quotient rings)

• 环同态的核(Kernels of ring homomorphisms) 在一个同态映射中，值域(codomain)是0的域(domain)元素集合。 Let f : R \to S be a ring homomorphism. Those elements of R that are sent to 0 in S form the kernel of f. Ker \ f = f^{-1}(0) = {x \in R | f(x) = 0}
• 环的理想(ideal of a ring) 一个环R的理想I: 1) includes 0 2) 对加法具有封闭性。 3) 与R中任何元素的乘积结果具有在理想I中的封闭性。 0 \in I, I + I \subseteq I, IR \subseteq I, RI \subseteq I {0} is always an ideal in a ring R. It's called the trivial ideal. A proper ideal is an ideal I \neq R
• Principle ideals $$

(a) = {xa | x \in R} \ where \text{a is an element of a commutative ring R.} $$

{0} = (0) R = (1)

• 商环(Quotient rings R/\equiv, R/I)
  • 环的的同余(congruence \(\equiv\))关系。 The congruence on a ring R is an equivalence relation such that for all x, x', y, y' \in R, x \equiv x' \ and \ y \equiv y' \ imply \ x + y \equiv x' + y' \ and \ xy \equiv x'y' x and x' is called congruence classes.
  • 定理：理想的同余模(Congruence modulo an ideal) Let I be an ideal of a ring R, A congruence, call congruence module I, is defined by x \equiv y (mod I) if and only if x - y \in I THe quotient ring, R/\equiv, is denoted R/I.

群(Group)

• 群(Group) 一个群由一个集合和对应的操作组成。具有以下性质：
  • 有一个二元操作：addition or multiplication。（具有封闭性。）
  • the binary operation 具有 associativity。
  • the binary operation 的 identity element是0 or 1，
  • 每个元素都有反元素。 非正式的说，群具有加减两个操作，或者乘除两个操作。
• 子群(subgroup) 子群H是群G的子集，并且满足：
  • 有1，
  • 乘法具有封闭性
  • 反元素具有封闭性
• 循环群(cyclic groups and subgroups) A group or a subgroup is generated by some element a: \left \langle a \right \rangle = {a^n | n \in \mathbb{z}}
• 阶(the order of a group) 一个群的阶就是它元素的数量，表示为|G|。 一个群元素 a 的阶是天河最小正整数n，使得a^n = 1。
• Involution An involution a is an element of a group which is its own inverse, a^{-1} = a。
• 协作集合(coset) Let H be a subgroup of G, A left coset a set of the form aH = {ah | h \in H}
• while a right coset is of the form Ha = {ha | h \in H}.

算术概念

• 单位根(root of unity) 一个复数，在正整数次方后的结果是1。
• n的基本单位根(primitive nth root of unity) 对于等式z^n = 1，使z的正整数次方等于1的最小整数n，则z为n^{th} primitive root of unity。 \phi(n)的n的基本单位根的个数。
• 分圆多项式(Cyclotomic polynomial) n的基本单位根的求解多项式。 The polynomial \Phi_n(z) = \prod_{k=1}^{\phi(n)}(z - z_k), where z_1, z_2, \dots, z_{\phi(n)} are the primitive n^{th} roots of unity, is called the n^{th} cyclotomic polynomial.
• 代数数(algebraic number) 代数数是一个复数，并且是一个具有整数系数的一元多项式的根。
• 超越数(transcendental number) 与代数数相反，超越数不会是一个具有整数系数的一元多项式的根。 几乎所有的的实数和复数都是超越数。

逻辑

• 自反性 - Law of Reflexivity: Everything is equal to itself x = x.
• 对称性 - Law of Symmetry If x = y, then y = x.
• 传递性 - Law of Transitivity If x = y and y = z, then x = z
• 命题(Proposition)
• 谓词(Predicate) a predicate is a statement that may be true or false depending on the values of its variables. P(x) is referred to as the predicate, and x the subject of the proposition. Sometimes, P(x) is also called a propositional function

中英文对照

References

• Introduction to Modern Algebra(David Joyce, Clark University)
• Bijection, injection and surjection