Re-integration

大一复习计划(3/∞)(3/\infty)(3/∞)

第十章 重积分

第一,二节 二重积分 及其计算

1. ∬Df(x,y)dσ=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\iint_D f(x,y)d\sigma=\lim_{\lambda \to 0}{\sum_{i=1}^n{f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i}}∬D​f(x,y)dσ=limλ→0​∑i=1n​f(ξi​,ηi​)Δσi​
   1. 利用直角坐标计算二重积分 ∬Df(x,y)dxdy\iint_D f(x,y)d x d y∬D​f(x,y)dxdy 其中 dxdyd x d ydxdy 叫做 直角坐标中的面积元素
   2. 利用极坐标计算二重积分 ∬Df(x,y)dσ=lim⁡(λ→0)∑i=1nf(ξi,ηi)dσi=∬Df(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρdθ\iint_D f(x,y)d \sigma=\lim_(\lambda \to 0)\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)d \sigma_i=\iint_D f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d \theta∬D​f(x,y)dσ=lim(​λ→0)∑i=1n​f(ξi​,ηi​)dσi​=∬D​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ 注意 多了一个 ρ\rhoρ

第三节 三重积分

1. ∭Ωf(x,y,z)dv=lim⁡(λ→0)∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δvi\iiint_\Omega f(x,y,z)d v=\lim_(\lambda \to0)\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i∭Ω​f(x,y,z)dv=lim(​λ→0)∑i=1n​f(ξi​,ηi​,ζi​)Δvi​
   1. 直角坐标中的体积元素 ∭Ωf(x,y,z)dxdydz\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz∭Ω​f(x,y,z)dxdydz
   2. 柱面坐标计算三重积分 {x=ρcos⁡θ,y=ρsin⁡θ,z=z\begin{cases} x=\rho\cos\theta,\\ y=\rho\sin\theta,\\ z=z \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z​ ∭Ωf(x,y,z)=∭ΩF(ρ,θ,z)ρdρdθdz\iiint_\Omega f(x,y,z)=\iiint_\Omega F(\rho,\theta,z)\rho d\rho d\theta dz∭Ω​f(x,y,z)=∭Ω​F(ρ,θ,z)ρdρdθdz 注意 多了一个 ρ\rhoρ
   3. 球面坐标计算三重积分 {x=rsin⁡φcos⁡θy=rcos⁡φsin⁡θz=rcos⁡φ\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\cos\varphi\sin\theta\\ z=r\cos\varphi \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​x=rsinφcosθy=rcosφsinθz=rcosφ​ ∭Ωf(x,y,z)=∭ΩF(r,φ,θ)r2sin⁡θdrdφdθ\iiint_\Omega f(x,y,z)=\iiint_\Omega F(r,\varphi,\theta)r^2\sin\theta dr d\varphi d\theta∭Ω​f(x,y,z)=∭Ω​F(r,φ,θ)r2sinθdrdφdθ

第四节 重积分的应用

1. 曲面的面积 A=∬D1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2dxdyA=\iint_D\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} dxdyA=∬D​1+(∂x∂z​)2+(∂y∂z​)2​dxdy
2. 质心 xˉ=∬Dxμ(x,y)dσ∬Dμ(x,y)dσyˉ=∬Dyμ(x,y)dσ∬Dμ(x,y)dσ\bar{x}=\frac{\iint_D x\mu(x,y)d \sigma}{\iint_D \mu(x,y)d \sigma} \\ \bar{y}=\frac{\iint_D y\mu(x,y)d \sigma}{\iint_D \mu(x,y)d \sigma}xˉ=∬D​μ(x,y)dσ∬D​xμ(x,y)dσ​yˉ​=∬D​μ(x,y)dσ∬D​yμ(x,y)dσ​
3. 转动惯量 Ix=∬Dy2μ(x,y)dσ,Iy=∬Dx2μ(x,y)dσI_x=\iint_D y^2\mu(x,y)d\sigma,I_y=\iint_D x^2\mu(x,y)d\sigmaIx​=∬D​y2μ(x,y)dσ,Iy​=∬D​x2μ(x,y)dσ 若是在三维坐标系中 Ix=∭Ω(y2+z2)ρ(x,y,z)dvIy=∭Ω(x2+z2)ρ(x,y,z)dvIz=∭Ω(x2+y2)ρ(x,y,z)dvI_x=\iiint_\Omega(y^2+z^2)\rho(x,y,z)dv \\I_y=\iiint_\Omega(x^2+z^2)\rho(x,y,z)dv \\I_z=\iiint_\Omega(x^2+y^2)\rho(x,y,z)dv \\Ix​=∭Ω​(y2+z2)ρ(x,y,z)dvIy​=∭Ω​(x2+z2)ρ(x,y,z)dvIz​=∭Ω​(x2+y2)ρ(x,y,z)dv
4. 引力 肯定不考 不学