量子纠缠 上面这些公式对量子纠缠的研究很有用。纠缠跟黑洞热力学和热态的纯态化有关。我们考虑希尔伯特空间
\mathcal H = \mathcal H_A \otimes\mathcal H_B
在这上面定义个纯态
|\psi\rangle = \sum_{i,j} c_{ij } |\phi_i\rangle_A |\phi_j\rangle_B
现在假如存在一组
c^A_i ,
c^B_j ,使得
c_{ij} = c^A_i c^B_j
那么
\sum_{i, j} c_{i j}\left|\phi_{i}\right\rangle_{A}\left|\phi_{j}\right\rangle_{B}=\left(\sum_{i} c_{i}^{A}\left|\phi_{i}\right\rangle_{A}\right)\left(\sum_{i} c_{j}^{B}\left|\phi_{j}\right\rangle_{B}\right)
这是我们就是这个态是可分离的。假如说一个态是纠缠的，这说明不存在这样的可分离的
c_{ij} 。
接下来我们来计算只作用于
\mathcal H_A 的算符
A 的期望值
\begin{aligned}
\langle A\rangle &=\operatorname{Tr}(\rho A)=\sum_{i, j} {}_A\left\langle\left.\phi_{i}\right|_{B}\left\langle\phi_{j}|\rho A| \phi_{i}\right\rangle_{A} \mid \phi_{j}\right\rangle_{B} \\
&=\sum_{i} {}_A \langle\phi_{i} |\left(\sum_{j}{ }_{B}\left\langle\phi_{j}|\rho| \phi_{j}\right\rangle_{B}\right) A | \phi_{i} \rangle_{A} \\
& \equiv \sum_{i} {}_A\left\langle\phi_{i}\left|\rho_{A} A\right| \phi_{i}\right\rangle_{A} \equiv \operatorname{Tr}_{A}\left(\rho_{A} A\right)
\end{aligned}
约化密度矩阵的定义为
\rho_A \equiv {\rm Tr}_B \rho \equiv \sum_j {}_B\langle \phi_j | \rho | \phi_j\rangle_B
在
\mathcal H 里面的描述纯态的密度矩阵有如下形式
\rho = \sum_{i,j,k,l} c_{ij} (c_{kl})^* | \phi_i \rangle_A | \phi_j \rangle_B \,\, {}_A \langle \phi_k | {}_B \langle \phi_l |
对
\mathcal H_B 求迹
\begin{aligned}
\rho_{A} &=\operatorname{Tr}_{B} \rho \\
&=\sum_{n} {}_{B} \langle\phi _ { n } | (\sum_{i, j, k, l} c_{i j} (c_{k l} )^{*} |\phi_{i} \rangle_{A} |\phi_{j} \rangle_{B} \langle \phi_{k} |_{B} \langle\phi_{l} | ) |\phi_{n} \rangle_{B} \\
&=\sum_{n, i, k} c_{i n}\left(c_{k n}\right)^{*} |\phi_{i} \rangle_{A}{ }_{A}\left\langle\phi_{k}\right|
\end{aligned}
因此
\begin{aligned}
\rho_A^2 & = \sum_{n,i,k} c_{in}(c_{kn})^* |\phi_i \rangle_A {}_A \langle\phi_k | \\
& \times \sum_{a,c,d} c_{ca} (c_{da})^* | \phi_c \rangle_A {}_A \langle\phi_d | \\
& = \sum_{n,a,d,i,k} c_{in }(c_{kn})^* c_{ka }(c_{da})^* | \phi_i \rangle_A {}_A \langle \phi_d |
\end{aligned}
求迹可得
\begin{aligned}
&\operatorname{Tr}_{A} \rho_{A}^{2} \\
&=\sum_{l}{ }_{A} \langle\phi_{l} | (\sum_{n, a, d,} c_{i n} (c_{k n} )^{*} c_{k a} (c_{d a} )^{*} |\phi_{i} \rangle_{A}{ }_{A} \langle\phi_{d} | ) | \phi_{l} \rangle_{A} \\
&=\sum_{n, a, l, k} c_{l n}\left(c_{k n}\right)^{*} c_{k a}\left(c_{l a}\right)^{*} \\
& \leq \sum_{n, a, l, k} c_{l n}\left(c_{l n}\right)^{*} c_{k a}\left(c_{k a}\right)^{*}=1
\end{aligned}
过程中我们用到了
\sum_{i,j} c_{ij} (c_{ij})^* = 1 .
因此我们证明出
{\rm Tr}_A \rho_A^2 = 1 \leftrightarrow \rho描述了一个可分离的态
所以说，只有描述纠缠态的
\rho 才能产生描述混合态的约化密度矩阵。这意味着约化密度矩阵
\rho_A 包含了
\mathcal H_A 和
\mathcal H_B 之间纠缠的信息。
纠缠的程度可以用冯诺伊曼熵来测量
S_{\rm EE} = -{\rm Tr}_A \rho_A \log \rho_A
可以推出
S_{\rm EE}>0 \leftrightarrow \rho描述了一个纠缠态
一个特殊的纠缠的纯态是TFD(Thermal Field Double)态。定义是
|{\rm TFD}\rangle = \frac{1}{\sqrt{Z}} \sum_n e^{-\beta E_n/2} | n\rangle_1 |n \rangle_2
它的密度矩阵是
\begin{aligned}
&\rho_{\rm T F D}=|{\rm T F D}\rangle \langle {\rm T F D} |\\
&=\frac{1}{Z} \sum_{n, m} e^{-\beta\left(E_{n}+E_{m}\right) / 2} | n \rangle_{1}|n\rangle_{2}{\,\, }_{1} \langle m |_{2}\langle m|
\end{aligned}
现在我们来计算算符A在TFD态的期望值
\begin{aligned}
\operatorname{Tr}\left(\rho_{\rm T F D} A\right) &=\langle {\rm T F D} |A| { \rm T F D}\rangle \\
&=\frac{1}{Z} \sum_{n, m} e^{-\beta\left(E_{n}+E_{m}\right) / 2}{ }_{2}\langle m \mid n\rangle_{2}{\,\, }_{1}\langle m|A| n\rangle_{1} \\
&=\frac{1}{Z} \sum_{n, m} e^{-\beta\left(E_{n}+E_{m}\right) / 2} \delta_{n m}{ \,\,}_{1}\langle m|A| n\rangle_{1} \\
&=\frac{1}{Z} \sum_{n} e^{-\beta E_{n}}{ }_{1}\langle n|A| n\rangle_{1}
\end{aligned}
约化密度矩阵
\rho_1 \rho_1 = \frac{1}{Z} \sum_n e^{-\beta E_n} | n\rangle_1 {\,\,}_1 \langle n |
那么对于一个只能在
\mathcal H_1 中观察的观测者来说，纯态TFD看上去就像是热态一样的。TFD态的构建也就是对正则系综的纯化。
本征态热化假说 对于一大类在非可积系统里面的算符
\mathcal O 在能量为
E_i 的本征态里的期望值是
\langle E_i | \mathcal O | E_i \rangle = \langle \mathcal O \rangle_{\rm micro,E_i} +\Delta_i
这个假说的物理意义是，多自由度的孤立系统中给定能量的纯态看起来是热态。因为算符的期望值趋近于微正则系综平均。
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