利用分部积分以及二次积分求解一道积分问题
3.17 （江苏省2016竞赛题） 设函数
\textstyle f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt，试求定积分
\textstyle \int_{0}^{1}xf(x)dx.
解决此题有两种方法，1.考虑分部积分 2.利用二次积分
【方法一】解：令
\textstyle f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt，显然
f^{'}(x)=\frac{\ln(1+x)}{1+t^2}，根据分部积分有
\begin{align*}
\displaystyle \int_{0}^{1}xf(x)dx &=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}f(x)dx^2=\dfrac{1}{2}x^2f(x)|_{0}^{1}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}x^2\cdot \dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx\\ &=\dfrac{1}{2}f(1)-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx+\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx\\ &=f(1)-\ln 2+\dfrac{1}{2}
\end{align*}
而
\textstyle f(1)=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt，利用换元，
\frac{1+t}{2}=\frac{1}{1+x}，
\begin{align*}
\displaystyle \textstyle f(1)&=\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt=\int_{0}^{1}\dfrac{\ln \dfrac{1}{2}+\ln\dfrac{1+t}{2}}{1+t^2}dt\\ &=\ln2\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+t^2}dt-\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=\ln 2\cdot\arctan x|_{0}^{1}-f(1)\\ &=\dfrac{\pi}{4}\ln2-f(1)
\end{align*}
所以
\textstyle f(1)=\dfrac{\pi}{8}\ln2，所以原式
=\textstyle (\dfrac{\pi}{8}-1)\ln2+\dfrac{1}{2}.
【方法二】解：将积分转化成二次积分，再改变积分顺序有
\begin{align*}
\displaystyle\int_{0}^{1}xf(x)dx &=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}x\dfrac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt=\int_{0}^{1}dt\int_{t}^{1}x\dfrac{\ln(1+t)}{1+t^2}dx\\ &=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-t^2)\dfrac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt=-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln(1+t)dt+\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt\\ &=-\dfrac{1}{2}-\ln 2+f(1)
\end{align*}
同理，利用第一问有，
f(1)=\dfrac{\pi}{8}\ln2，所以原式
=\left(\dfrac{\pi}{8}-1\right)\ln2+\dfrac{1}{2}.
作者：小熊
日期：6.30
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