▲图1
图1为受分布载荷作用的简支梁，该问题平衡微分方程的如下
-EI\frac {d^4 \omega}{d x^4} + p(x) = 0
该平衡方程建立在未变形时，即忽略了变形的影响。
▲图2
如图2所示，简支梁在横向均布荷载
q作用下产生的弯矩为
M_0(x)，挠度为
\omega_0(x)。轴向荷载F会在
\omega_0(x)的基础上产生力矩
\Delta M(x) = F\omega_0(x)如果
F为拉力，则
\omega_0(x)会减小，则最终弯矩范围
M_0 -F\omega_0 < M < M_0
如果
F为压力，则
\omega_0(x)会增加，则最终弯矩范围
M_0 < M < M_0+F\omega_0
可见细长梁在轴向力作用下的弯曲，有必要检查变形之后的平衡(即使变形很小)。
▲图3
如图3所示，细长梁上的任一微段
dx,
abdc是其变形之前的位置,
a'b'd'c'为变形后的位置。该微段的受力分析如图4所示
▲图4
由
\sum F_z =0得
(F\sin\theta)_x - (F\sin\theta)_{x+dx}-(V_z \cos\theta)_x + (V_z \cos\theta)_{x+dx} +pdx = 0 \quad \cdots (1)
式中
\begin{split}
(F\sin\theta)_{x+dx} &= (F\sin\theta)_x + \frac {\partial }{\partial x}(F\sin\theta)dx \\
(V_z \cos\theta)_{x+dx} &= (V_z \cos\theta)_x + \frac {\partial }{\partial x}(V_z \cos\theta)dx\\
\end{split} \quad \cdots (2)
(2)代入(1)得
[-\frac {\partial }{\partial x}(F\sin\theta) + \frac {\partial }{\partial x}(V_z \cos\theta) + p]dx = 0 \quad \cdots (3)
对于充分小的
\theta，有
\sin\theta =\theta,\cos\theta = 1，则(3)可写成
-\frac {\partial }{\partial x}(F\theta) + \frac {\partial V_z }{\partial x} + p =0 \quad \cdots (4)
注意到
\theta = - \frac {\partial \omega }{\partial x} ，(4)可写成
\frac {\partial }{\partial x}(F\frac {\partial \omega }{\partial x} ) + \frac {\partial V_z }{\partial x} + p =0 \quad \cdots (5)
关于B点的力矩平衡，有
M_y(x+dx)-M_y(x)-V_z(x)|AB|+pdx \frac 12(|AB|\cos\theta) = 0\quad \cdots (6)
注意到
M_y(x+dx) = M_y(x) + \frac {\partial M_y(x) }{\partial x}dx
由于
|AB|\cos\theta = dx，(6)可以写成
[\frac {\partial M_y(x) }{\partial x}-V_z(x)]dx + \frac 12p dx^2 =0 \quad \cdots (7)
忽略(7)的高阶项，有
\frac {\partial M_y(x) }{\partial x} = V_z\quad \cdots (8)
(8)代入(5)有
\frac {\partial^2 M_y(x) }{\partial x^2} + \frac {\partial }{\partial x}(F\frac {\partial \omega }{\partial x} ) + p = 0 \quad \cdots (9)
(9)就是考虑轴向荷载时梁的平衡微分方程。
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