在ANSYS中模拟梁单元的铰接有两种方法，分别是自由度耦合命令cp与自由度释放命令endrelease，关于这两个命令的使用，可以査阅《ANSYS工程结构数值分析》P350~P353。BEAM3单元采用cp命令，其理论可参考有限元 | 多点约束
BEAM44单元采用KEYOPT(7)释放自由度，其方法是释放“刚度矩阵”，其操作是在建立单元的过程中完成的。下面探讨其理论依据。
梁单元刚度方程
\frac {EI}{l^3}
\begin{bmatrix}12 & 6l & -12 & 6l \\ 6l & 4l^2 & -6l & 2l^2 \\
-12 & 6l & 12 & -6l \\ 6l & 2l^2 & -6l & 4l^2 \\
\end{bmatrix}
\begin{Bmatrix}
\omega_1\\
\theta_1\\
\omega_2\\
\theta_2\\
\end{Bmatrix}=
\begin{Bmatrix}
F_1\\
M_1\\
F_2\\
M_2\\
\end{Bmatrix}
\quad (1)
▲图1
在某些情况下，梁可能包含内部铰链，这会导致挠度曲线斜率的不连续性以及弯矩为零。如果我们要使用有限元方法来分析图1中所示的梁，我们将使用两个单元来离散之。铰链应只考虑一次，或者与单元1相关联，或者与单元2相关联。如果梁由两个单元离散化，一个单元右端有铰链，另一个单元左端有铰链，结果将是奇异刚度矩阵。如果单元节点2有铰，则刚度方程(1)的分块矩阵形式
\left[
\begin{array}{c|c}
\mathbf k_{11} & \mathbf k_{12} \\
\hline
\mathbf k_{21} & \mathbf k_{22} \\
\end{array}
\right]
\begin{Bmatrix}
\mathbf d\\
\ldots \\
\theta_2\\
\end{Bmatrix} =
\begin{Bmatrix}
\mathbf F\\
\ldots \\
M_2\\
\end{Bmatrix}
\quad (2)
由(2)得
\begin{split}
\mathbf k_{11}\mathbf d + \mathbf k_{12}\theta_2 & = \mathbf F \\
\mathbf k_{21} \mathbf d + \mathbf k_{22}\theta_2 & = M_2\\
\end{split} \quad (3)
解得
\theta_2 = \mathbf k_{22}^{-1}(M_2-\mathbf k_{21}\mathbf d ) \quad (4)
(\mathbf k_{11}-\mathbf k_{12}\mathbf k_{22}^{-1}\mathbf k_{21})\mathbf d = \mathbf F - \mathbf k_{12}\mathbf k_{22}^{-1}M_2 \quad (5)
记
\mathbf K_C = \mathbf k_{11}- \mathbf k_{12}\mathbf k_{22}^{-1}\mathbf k_{21}
则
\mathbf K_C \mathbf d = \mathbf F \quad (6)
其中
\mathbf K_C =
\frac {EI}{l^3}
\begin{bmatrix}
3 & 3l & -3 \\
l & 3l^2 & -3l\\
-3 & -3l & 3 \\
\end{bmatrix}
按照(1)的形式，节点2为铰接的梁刚度方程为
\begin{bmatrix}
3 & 3l & -3 & 0\\
l & 3l^2 & -3l& 0\\
-3 & -3l & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\begin{Bmatrix}
\omega_1\\
\theta_1\\
\omega_2\\
\theta_2\\
\end{Bmatrix}=
\begin{Bmatrix}
F_1\\
M_1\\
F_2\\
0\\
\end{Bmatrix}-
\begin{Bmatrix}
\mathbf k_{12}\mathbf k_{22}^{-1}M_2\\
0\\
\end{Bmatrix}
\quad (7)
▲图2
[例1] 如图2所示的结构，若划分2个单元，中间的铰接点只能考虑一次，即单元1的右节点释放自由度。单元1的刚度矩阵
k_1=\frac {EI}{l^3}
\begin{bmatrix}
3 & 3l & -3 & 0\\
l & 3l^2 & -3l& 0\\
-3 & -3l & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
单元1的等效节点荷载
\begin{split}
f_1 & =
\begin{Bmatrix}
F_1\\
M_1\\
F_2\\
0\\
\end{Bmatrix}-
\begin{Bmatrix}
\mathbf k_{12}\mathbf k_{22}^{-1}M_2\\
0\\
\end{Bmatrix}\\
& = \begin{Bmatrix}
-\frac {P}{2} \\
-\frac {Pl}{8} \\
-\frac {P}{2}\\
0\\
\end{Bmatrix}-
\begin{Bmatrix}
\frac {6EI}{l^2} \\
\frac {2EI}{l} \\
-\frac {6EI}{l^2} \\
0\\
\end{Bmatrix} \frac {l}{4EI} \frac {Pl}{8} \\
& = \begin{Bmatrix}
-\frac {11P}{16} \\
-\frac {3Pl}{16} \\
-\frac {5P}{16}\\
0\\
\end{Bmatrix}\\
\end{split}
单元2的刚度矩阵
k_2 =
\frac {EI}{l^3}
\begin{bmatrix}12 & 6l & -12 & 6l \\ 6l & 4l^2 & -6l & 2l^2 \\
-12 & 6l & 12 & -6l \\ 6l & 2l^2 & -6l & 4l^2 \\
\end{bmatrix}
本文思路和动力学中缩减自由度一样
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