在梁单元的4个节点自由度中，和的单位不同，现在用
\hat{\theta} = l\theta \quad (1)
将单位统一起来。其中是单元长度。梁的挠度
\begin{split}
\omega &= N_1\omega_1 + N_2\hat{\theta_1} + N_3\omega_2 + N_4\hat{\theta_2} \\
&= \mathbf N \hat{\mathbf d}\\
\end{split} \quad (2)
其中
\begin{split}
N_1 &= 1-3\xi^2 + 2\xi^3 \\
N_2 &= -\xi + 2\xi^2 -\xi^3 \\
N_3 &= 3\xi^2 - 2\xi^3 \\
N_4 &= \xi^2 - \xi^3 \\
\end{split}
\hat{\mathbf d} =
\begin{Bmatrix}
\omega_1 \\
\hat{\theta_1} \\
\omega_2 \\
\hat{\theta_2}\\
\end{Bmatrix} \quad (3)
应变
\begin{split}
\hat{\epsilon} & = \frac {\partial ^2 \omega}{\partial x^2 }\\
&= \frac {1}{l^2} \frac {\partial ^2 \omega}{\partial \xi^2 }\\
&= \frac {1}{l^2} \hat{\mathbf B} \hat{\mathbf d}\\
\end{split} \quad (4)
其中
\hat{\mathbf B} = [-6+12\xi,4-6\xi,6-12\xi,2-6\xi]
单元刚度矩阵
\begin{split}
\hat{\mathbf k} &= \frac {EI}{l^3} \int_0^1 \hat{\mathbf B}^T\hat{\mathbf B} d\xi \\
&= \frac {2EI}{l^3}\begin{bmatrix}
6& 3& -6& -3 \\
-3& 2& 3& 1 \\
-6& 3& 6& 3 \\
-3& 1& 3& 2 \\
\end{bmatrix}
\end{split} \quad (5)
11
如图1所示的悬臂梁，采用一个单元，则单元刚度方程为
\frac {2EI}{l^3}\begin{bmatrix}
6& 3& -6& -3 \\
-3& 2& 3& 1 \\
-6& 3& 6& 3 \\
-3& 1& 3& 2 \\
\end{bmatrix}
\begin{Bmatrix}
\omega_1 \\
\hat{\theta_1} \\
\omega_2 \\
\hat{\theta_2}\\
\end{Bmatrix} =
\begin{Bmatrix}
R_1 \\
R_2 \\
-P\\
0\\
\end{Bmatrix}
考虑边界条件之后
\frac {2EI}{l^3}\begin{bmatrix}
6& 3 \\
3& 2 \\
\end{bmatrix}
\begin{Bmatrix}
\omega_2 \\
\hat{\theta_2}\\
\end{Bmatrix} =
\begin{Bmatrix}
P\\
0\\
\end{Bmatrix}
解得
\hat{\theta_2} = -\frac {Pl^3}{2EI}
由(1)知
\theta_2 = \frac{1}{l}\hat{\theta_2} = -\frac {Pl^2}{2EI}
\omega_2 = \frac {Pl^3}{3EI}
\begin{split}
\omega &= N_1\omega_1 + N_2\hat{\theta_1} + N_3\omega_2 + N_4\hat{\theta_2} \\
&= N_3\omega_2 + N_4\hat{\theta_2} \\
&= (3\xi^2 - 2\xi^3) \frac {Pl^3}{3EI} - (\xi^2 - \xi^3)\frac {Pl^2}{2EI}\\
\end{split}
两种坐标系的映射
\xi = \frac {x}{l}
\omega = \frac {Pl^3}{EI}[\frac {1}{2}(\frac {x}{l})^2 - \frac {1}{6}(\frac {x}{l})^3 ]
结果和材料力学相同。
有限元法把复杂结构离散到有限个单元，再把这种理想化的假定和力学控制方程施加于结构内部的每一个单元，然后通过单元分析组装得到结构总刚度方程，通过边界条件和其他约束解得每个单元的反应，这样就可以避免直接建立复杂结构的力学和数学模型了。
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