为什么正弦波峰值是有效值的√2倍？

摘要：本文深入浅出地解释了交流电"有效值"（RMS，均方根值）的核心概念。从"发热功率等效"的物理定义出发，通过数学推导展示了正弦波有效值与峰值之间的√2关系。

“有效值”（RMS，均方根值）在电工学里的定义：让一个交流电在电阻上产生的发热功率，等于某个直流电产生的发热功率时，这个直流电压的数值。

• 对于直流电，功率P = Vrms²/R，发热量正比于电压的平方。
• 对于交流电，电压v(t) 时时刻刻在变，瞬时功率正比于v(t)²，平均功率Pavg = Vavg²/R。

综上，Vrms²/R = Vavg²/R，Vrms² = Vavg²，Vrms = √Vavg，即均方根值 = 平均值的开方。

设正弦波瞬时值为：u(t) = Vpeak*sin(ωt)

瞬时功率正比于电压平方：u(t)² = Vpeak²*sin⁡²(ωt)

cos⁡²(ωt) 其实就是 sin⁡²(ωt) 向左平移了 90°（四分之一个周期）。两者的“起伏”形状完全一样，只是位置错开了。因此，在一个完整周期内，sin⁡²(ωt) 曲线下方的面积，必然等于 cos⁡²(ωt) 曲线下方的面积。由于 sin⁡²(ωt)+cos⁡²(ωt) = 1，故sin⁡²(ωt) = 1/2。

平均发热功率正比于：

把平均值开方，得到有效值：

反过来，峰值自然就是：

这个 √2 关系只适用于纯正的正弦波。如果电流波形是方波、三角波等，这个系数就不成立了，必须老老实实对波形做积分运算。

正弦波正负半周对称，平均值明明是0，为什么有效值不是0？

这是因为发热能量与电压的方向无关，只与大小(平方)有关，负值就会被平方成正值。虽然电压在正负之间摇摆，但电阻一直在发热。

本人电子工程师一枚，CSDN授予“嵌入式领域优质创作者”，期待与你携手共进。觉得不错，动动发财的小手点个赞哦！