28 个怪球，一个都不落下：一次 AI 参与的数学构造，和它留下的那块空白

2026 年 9 月 24 日，arXiv 上挂出一篇 32 页的微分几何论文，标题是《Positive Sectional Curvature on All Smooth 7-spheres》（所有光滑七维球面上的正截面曲率），作者是 Yang-Hui He、Ziran Liu 和 Shing-Tung Yau（丘成桐）。 这篇论文做的事，摘要里一句话讲完了：他们为每一个光滑同伦七维球面构造了一个具有严格正截面曲率的光滑黎曼度量，并且"该构造适用于全部 28 个有向微分同胚类"。 "28" 是理解这件事的钥匙。而这件事真正值得写的部分，不在那 32 页里，而在论文之外——在同行讨论时流露出来的那句"我不太清楚他们是怎么用 AI 的"。 先把事实摆清楚 论文摘要给出的技术路线是分片构造再粘合：先分别在一个七维圆盘的两半上构造正曲率度量，让它们诱导出的边界度量在指定的附着映射下彼此一致，再用一个粘合定理把两块拼成一个闭流形上的光滑度量。 可核对的硬信息如下： · 论文编号 arXiv:2609.29426，v1 提交时间 2026 年 9 月 24 日 11:46:27 UTC（北京时间当天晚间） · 篇幅 32 页，学科分类 math.DG（微分几何） · 作者：Yang-Hui He、Ziran Liu、Shing-Tung Yau · 覆盖范围：全部 28 个有向微分同胚类，不是其中几个，也不是"存在无穷多个"这种模糊说法 "28" 不是随手写的数字。七维球面上存在 28 种彼此不微分同胚的光滑结构，其中一种是标准的，剩下 27 种通常被称为"怪球"（exotic spheres）。从微分拓扑的角度看它们都"是"七维球面，但从光滑结构的角度看，它们是 28 个不同的对象。 所以"全部 28 个"这句话的分量在于：它没有挑最容易的那一个做示范，而是覆盖了整个分类。 为什么"正曲率"这么难 普通读者最容易问的是：球面本来就弯的，为什么还要构造"正曲率度量"？ 关键在于，一个光滑流形上可以装的度量不止一种，而"曲率为正"是一个很苛刻的要求。你可以把一个流形揉成各种形状，但一旦要求它在每一点、每一个二维切平面方向上都是正截面曲率，可选择的余地就急剧变小。矮胖的球面显然满足，但当流形的光滑结构被换成"怪"的那一种，能不能照样装上一个处处正曲率的度量，就成了一个真问题。 公开讨论里提供了一个很清楚的坐标。知乎上一位答主把这次的结果和前一段工作放在一起比较，指出这次用到的是 Duran-Püttmann-Rigas 双圆盘模型与 Blakers-Massey 映射的迭代来编码那 28 个光滑结构，构造中大量使用四元数坐标与主丛连接等显式计算。另一位答主则把它与 Brendle-Schoen 的路线对照：后者处理满足严格四分之一曲率挤压的流形，依赖 Hamilton 的 Ricci 流，核心是证明正的各向同性曲率在流下保持，再用最大值原理与收敛理论把初始度量形变为常曲率度量；而这次的证明完全不依赖流方程，走的是分片构造加粘合的路子，用到了 Reiser-Wraith 粘合定理。 两人的结论被总结成一组互补关系：曲率条件足够强时（四分之一挤压）会排除怪球，体现刚性；曲率条件只要求为正时不排除任何光滑类型，体现柔性。 需要说明，以上两段是知乎回答者的整理与个人理解，不是论文原文的逐句转述。想下结论，得回到那 32 页。 时间线上还有一条线 知乎上另一个回答补上了前情：丘成桐的微分几何问题集里，Problem #1 是 Hopf 猜想，由 Brendle-Huang 于 8 月 19 日在 arXiv 挂出证明；Problem #2 正是"在怪七维球面上构造正曲率度量"。这位答主称，Brendle-Huang 结果的第二天，丘成桐就在讨论群里写道：this is the solution of the famous hopf conjecture. If the procedure is correct, one should do the same for construction of a positive curved metric on exotic seven sphere, improving the metric of Gromoll Meyer in 1984。一个月之后，这篇论文出现了。 这段转述如果准确，那么它说明的是一个很朴素的道理：把问题定义清楚，有时候比解题更早发生。问题集摆了多年，工具成熟的那一年，答案才开始变得可及。 AI 到底做了什么：这是整件事里最薄弱的一环 现在说那块空白。 知乎问题下面赞同数最高的那条回答，作者本人是业内人士，原话大意是： > 我不太清楚他们是怎么用AI的，是开了 agent 然后接 Astra 和 Claude 轮流抽卡，还是在中间的某些步骤有 Yau 的 idea 输入？我反正这种造正曲率新例子的卡是一次也没抽中过。可能确实还是要开 agent，单纯跟 astra 聊天不太够。 这段话之所以值得整段引用，是因为它同时透露了两件事。第一，连同行都不掌握 AI 在这项工作里的具体分工——公开材料里没有说清哪一步是模型做的、哪一步是人做的。第二，"抽卡"这个词把当下一种真实的科研工作方式讲得极其直白：不是让模型一步给出答案，而是把它当成一个可以高频尝试的生成器，由人来判断哪一次尝试值得继续往下推。 同一位置还有一条容易被忽略的信息：这位答主提到，自己上个月用 AI 发现了一个"并不复杂但是似乎之前没人注意到的小结论"，证明只有 5 页纸，还没挂出来。 这两条放在一起，才是 2026 年 AI 做科研的真实切面：方法层面的分工不透明，但工作节奏确实被改变了。 对不搞数学的人，这件事有三点可迁移 第一，"全部"比"一个"值钱。做工程的人很容易犯同一个错：挑一个最顺手的场景跑通，就叫"已验证"。而这次论文选择覆盖分类里的全部 28 个对象，代价是证明必须对每一种光滑结构都成立。当你交出一份"已完成"的结论时，值得先问一句：我的样本是不是被我挑过了？ 第二，瓶颈还在判断力，不只在生成能力。那位答主说自己"一次也没抽中过"，说明模型能给的是海量的候选，而"哪个候选值得往下挖"依然要靠人。这和写代码、写文案是同一种结构：生成变便宜之后，评测和筛选变成了新的稀缺环节。 第三，二手转述要打折。这篇文章里我引用了很多知乎回答的内容，也明确标注了它们是回答者的整理而非论文原文。公众讨论一篇前沿论文时，最容易被压缩掉的恰恰是限定条件——"在满足平行趋势等识别条件的前提下""该构造适用于全部 28 个有向微分同胚类"这类句子，传播时最先消失，而它们恰恰决定了结论的边界。 一条安静的边界 没有一个 AI 工具在这次讨论里被当作主角。没有发布会，没有基准分，没有跑分对比。有的是 32 页论文、28 个分类、一个 77 岁的数学家和一群在讨论群里追问"AI 在里面到底干了什么"的同行。 如果说过去两年我们习惯了用"AI 又刷新了什么榜"来度量进展，这次提供了一个不同的坐标：当 AI 参与到一个连同行都要花时间 follow 的工作里，最诚实的记录方式，是先承认自己不知道它做了什么，然后把事实和推测分开写。 论文链接：https://arxiv.org/abs/2609.29426 知乎讨论：https://www.zhihu.com/question/2086886759296775993