关联速度的4种解法总结

关联速度问题通常有4种解法

1.关联速度法

2.能量守恒法

3.极限法

4.运动学方程求导

这里之所以不说按照实际运动效果进行分解，是因为在简单的情况下，按照运动的效果进行分解还能够行得通，在稍微复杂一点的问题中，往往很难找到运动效果，甚至压根就找不到运动效果。下面我们分别举几个例子来说明这几种方法如何使用。

例题1

“

如图1所示，轻质绳子通过滑轮拉动小车，绳子端点处

点拉动速度为

，当小车运动到

点时，绳子与水平方向夹角为

，求此时小车的速度大小。

关联速度法

由于绳子不可伸长，而且要想绳连的两个物体速度有关联，绳子也不能松弛，否则两者速度无关联。这就导致绳上各点沿绳分速度必然相等，否则绳子必然被拉长或者松弛。所以绳子连接的两个物体沿绳分速度也必然相等。假定小车的速度大小为

，小车速度方向只能水平向左。如图2所示，将小车的速度沿着绳子和垂直于绳子分解，其速度沿绳分速度大小为

根据关联速度的要求有

可得

能量守恒法

假定绳子端点

的拉力为

，由于绳子是轻质的，不会消耗能量，故而拉力

对端点

所做的功必然等于拉力对小车做的功。也即拉力

拉端点的功率等于绳子拉小车的功率。如图3所示

由此可得：

解得

极限法

假定在极短的时间

内，小车向前走了

，小车从

走到了图4中的

点

过

向

做垂线，垂足为

点。由于时间极短，

与

的夹角极小，可认为

得到

绳子缩短了

绳子的缩短量与端点

运动的距离相同，

点在

时间内前进了

，因此有

根据瞬时速度的定义

可得

运动学方程求导

如图5所示，以

为原点，建立水平向左的

轴，经过

时间，运动到了

点，设

的坐标为

，令

，其他量见图中标注，我们只要求出

和

满足的函数关系式，求导即可求出小车速度。

则

对时间求导，求导的时候要注意使用复合函数求导法

这就是任意时刻小车的速度，显然当

时的速度就是我们要求的速度，将

带入可得

例题2

“

如图6所示，轻质绳子通过滑轮拉动小车，小车上也有一个滑轮，绳子跨过滑轮后，连接在竖直墙壁上，连接墙壁的绳子处在水平状态。绳子端点

处的拉动速度为

求当倾斜绳子与水平方向夹角为

时小车的速度。

如果说例题1还能通过按照运动效果来进行分解，这个题目想要通过运动效果来进行分解就很难了，小车的运动效果很难找到，至少绝大部分人无法找到。下面我们仍然通过上面的几种方法予以解决。

关联速度

这道题单纯的通过关联速度已经不太好解决了，但是解决的方法仍然需要用到关联速度。绳子上各点沿绳分速度必须相等，但是小车上的滑轮相对于绳子有滑动，因此小车的速度沿绳分量和绳上各点的速度的沿绳分量并不相等，所以我们需要求出小车相对于绳子滑动的速度。我们在叙述中，为了方便，有时会使用小车的速度，有时会使用滑轮的速度，但他们速度时刻相同。

我们假定小车的速度为

，小车在极短的

时间内前进了

，到达了

位置，如图7所示。

此时绳子的缩短量并不是

和

两段绳子的长度差，我们过

点向

做垂线，垂足为

，由于时间极短，

，所以绳子的缩短量为

。如果我们仍然把小车的速度沿着

和垂直于

进行分解，利用沿绳分速度相等就会得到和上面例题1相同的答案，这显然是错误的。但是我们可以据此得到，倘若滑轮不滑动，小车沿绳分速度就是

。现在我们只需要求出滑轮沿绳滑动速度即可。小车左边的绳子不动，因此小车沿着绳子移动的速度就是小车的速度

。也就是说，小车沿绳分速度应该比绳上各点沿绳分速度慢

。那我们在假定滑轮不滑动时小车沿绳分速度上加上滑轮动时小车沿绳滑动的速度，就是绳上各点沿绳分速度，为

。故而可以得到：

解得：

我们可以取特殊情况验证一下这个结果，假定小车现在在无穷远处，即

，滑片两边的绳子都是水平的，根据动滑轮的特点，显然此时小车的速度为绳子端点速度的一半即

。我们将

带入上面的结果，也可以得到

。

能量守恒

本题使用此法最为简单，具体过程如下，如图8所示

假定小车的速度为

，绳子端点处

点的拉力为

，那么绳子上各点的张力均为

。拉力

对端点

的功率等于水平和竖直两段绳子的拉力对小车的功率，即：

注意此时

段绳子的拉力与小车的速度夹角为

，故其功率为

解得：

显然该方法解决本问题最为简单。

极限法

我们假定小车的速度为

，小车在极短的

时间内前进了

，到达了

位置，如图9所示

由图9可以看出，

。此时绳子的缩短量并不是

和

两段绳子的长度差，我们过

点向

做垂线，垂足为

，由于时间极短，

，所以绳子的缩短量为

。也即

。又有

。因此有：

解得：

运动学方程求导

以

为原点，建立水平向左的

轴，小车经过

时间运动到了

点，设

点坐标为

，我们只要求出

和

满足的函数关系，求导即可求出速度。各项见图10中标注。

从端点

处考虑绳子缩短了

，而从右边考虑绳子的缩短量则为

，则有

解得

带入上面的方程可得

原则上讲，我们应该把根号中的

脱离出来，解出

随

的函数关系式。但是在本集中我们不需要求出任意时刻的速度，只需要求出

时刻的速度。并考虑到当

时，

，因此我们可以在上述方程中直接对

求导，最终根号中的

会被消掉。在上面方程中，两边对时间求导可得

将

和

带入可得

解得

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