有反馈的新世界：IIR 滤波器

大家这个学习的劲头太足了，然后赶紧把 IIR 补上，还有人说一些其它的滤波器，我怎么可能不知道，只是说这俩种工程上面非常的成熟而已。

数字滤波器的半壁江山：与 FIR 告别

IIR 是什么？

IIR = Infinite Impulse Response Filter中文：无限冲激响应滤波器

意思是：

它的输出不仅取决于当前输入信号，也取决于过去的输入和过去的输出。

这与 FIR（有限冲激响应）不同，FIR 只会“记住”有限个输入样本，而 IIR 有反馈，所以它的“记忆”理论上无限长。

其中「无限冲激响应」的由来

想象你在山谷中大喊一声“啊——”，声音会回荡几次再慢慢消失，每次回声比上一次更小一点。 现在把这想成一个滤波器：

当前的声音（输入信号） → 新样本 x[n]

上一次回声（上次输出） → 反馈信号 y[n-1]

系统把它们加起来、衰减、再输出 → 当前输出 y[n]

于是：

每次输入都会“留下一点尾巴”；下一次又叠加新的输入；尾巴越来越短，但永远不完全消失；它对一个冲激输入的反应永远在回荡、渐渐消失。

工作原理

它会把输入信号和它自己“过去的输出”混在一起，再加权相加，不断地循环反馈，让信号中某些频率成分相互抵消、衰减、或者增强。

为什么它能滤波？

滤波器本质上是“让某些频率容易通过，让某些频率难通过”；而“反馈”就是调节这种频率特性的关键：如果把过去输出加回来，就会让某些频率叠加共振（放大）；如果把过去输出反相加回来，就会让某些频率相互抵消（衰减）。

这样，通过调整反馈系数 ，IIR 能够在频率上形成“谷”和“峰”，最终实现低通、高通、带通等各种频率选择。

IIR 滤波器的数学表达式

离散时间域公式：

或者写成：

其中：

滤波器工作的动态过程（逐样更新）

设滤波器公式：

每来一个新样本：取当前输入 （最新信号）；加上一点过去的输入 ；减去一点过去的输出 （反馈）；得出新的 ，输出给下一次使用

就这样：

当前输出不仅取决于现在的输入，还“记得”过去的输入和输出。

工作机制总结成“三步”：

这就是 IIR 在数字信号处理器（DSP）中的实时执行过程。

对应的系统函数（Z 域）

通过 Z 变换得：

特点：分子部分代表输入（前向路径）；分母部分代表反馈（回授路径） → 因此它的冲激响应是无限长（IIR）。

举个常见的例子：低通滤波器

最简单的一阶低通：

当 α 接近 1 → 过去输出影响大 → 输出变化慢（只保留低频）

当 α 小 → 响应快 → 高频变化也能通过；所以调节 α 就是在调节“截止频率”。

举例：

α=0.9 → 低通，平滑噪声；α=0.2 → 高频容易通过，不太平滑。

与 FIR 的直观区别

所以：

FIR 是“平滑的滤波”；IIR 是“聪明的滤波”（记忆和反馈使它更高效，但要小心稳定性）。

反馈系数必须合适（极点在单位圆内）

因为是反馈的结构，所以自然而然的有稳定性问题； 它的输出不仅依赖于输入 ，还依赖于过去的输出 ：

其中的 a₁, a₂, …, a_N 是反馈系数；这些反馈会“让滤波器记住过去”，也就是“无限冲激响应”的来源。（再说一次）但是如果反馈太强，输出就会无限放大或振荡，系统就不稳定；这时，信号还没输入，滤波器就自己乱套了。

数学解释：极点（Pole）与单位圆

IIR 的系统函数（Z 域表达式）为：

其中 的根就是滤波器的**极点 (poles)**；极点的位置决定了滤波器的稳定性。

稳定条件：

所有极点必须在 单位圆以内（|p| < 1）

原因：

单位圆表示离散系统的“自然频率界限”；

若极点落在单位圆内 → 响应会随时间衰减 → 稳定；

若极点在圆上 → 响应永不衰减 → 振荡；

若极点在圆外 → 响应随时间放大 → 系统发散。

z 平面：单位圆与极点位置

z 平面：单位圆与极点位置

简单一阶 IIR 例子

其系统函数：

极点在 。 稳定条件：

二阶 IIR（双二阶节）例子

极点位置：

稳定条件：

这是每个二阶节（biquad）在 IIR 设计中必须检查的稳定性标准。

稳定性总结

IIR 滤波器的反馈系数必须保证极点落在单位圆内。否则，反馈信号不会衰减而会持续放大，导致滤波器输出振荡或发散。极点越接近单位圆，系统越“尖锐”（Q 值越高），极点越靠中心，系统越平滑、响应越快。

不同的冲激响应

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冲激响应 y[n]（一阶 IIR：）

稳定（|p|<1，示例 p=0.8）：指数衰减并收敛到常数。

临界（|p|=1，示例 p=1.0）：不衰减，保持在常数水准。

不稳定（|p|>1，示例 p=1.1）：指数增长，发散。

当极点是复共轭对时（即滤波器产生振荡响应）的三种情况

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稳定（|p| < 1, r = 0.8）

振荡幅度 逐渐减小；响应为“指数衰减振荡”；表示系统能量逐步耗散。

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临界（|p| = 1, r = 1.0）

振荡幅度 保持恒定；响应是“恒幅正弦”；系统不发散也不衰减，处于边界稳定状态。

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不稳定（|p| > 1, r = 1.05）

振荡幅度 指数增长；响应越来越强；系统反馈能量持续放大，最终发散。

极点的模（|p|）控制系统能量是“衰减、保持还是增长”；极点的角度（∠p = ω₀）决定系统的振荡频率。

因此：在单位圆内部：振荡会衰减 → 稳定；在单位圆上：振荡恒幅 → 临界稳定；在单位圆外：振荡放大 → 不稳定。

常见 IIR 滤波器家族（以Moku仪器为例子）

这个仪器是多合一的

这个仪器是多合一的

Moku 的 Digital Filter Box 内部就是通过选择这些滤波族 → 计算系数 → 实时更新 DSP 滤波结构。

可视化也很直观，直接选择对应的参数

可视化也很直观，直接选择对应的参数

IIR 的实现结构（常用三种）

直接形式 I（Direct Form I）

输入 → 加权 b0,b1,b2 → 求和 → 输出
                  ↑
                 a1,a2 反馈

优点：直观 缺点：对高阶滤波器不稳定（数值误差放大）

直接形式 II（Direct Form II）

合并延迟线，节省存储空间（Moku 常用）

二阶节（Biquad）结构（实际工程标准）

高阶滤波器由多个 2 阶节（Biquad）串联组成：

每节独立计算 → 稳定性好，易于实时调节；Moku Filter Box 内部就是用 Biquad 串联形式实现的 IIR。

高阶滤波器的单元：Biquad（biquadratic filter）

在设计高阶 IIR 滤波器（比如 6 阶、8 阶、10 阶）时，直接实现完整高阶差分方程会：对数值精度极其敏感（浮点或定点误差导致振荡）；难以调试与控制稳定性。

为了稳定可靠，工程上会把高阶滤波器拆成多个二阶滤波单元，每个单元称为一个 “二阶节（Second-Order Section, SOS）”，或简称 Biquad（biquadratic filter）。

Biquad 的数学形式

二阶 IIR 滤波器的通用差分方程：

其 Z 域传递函数为：

结构框图（信号流向）

直接型（Direct Form I）

          ┌──────┐
x[n] ─▶──▶×b0 ─┬─▶───┐
       ┌──▶×b1 ─┼──▶Σ│
       │  └▶×b2 ─┘    │
       │              ▼
       │          z⁻¹ 延迟线
       │              │
       │              ▼
       │          z⁻¹ 延迟线
       └──────────────┘
      反馈系数 a₁, a₂ 回到输入端

转置型（Transposed Form II）

是最常用的 FPGA / DSP 实现结构：

x[n] ─▶─●─┬───────────┬───────────┐
        │ │           │           │
       ×b0 ×b1z⁻¹     ×b2z⁻²     ▼
        │   │           │      Σ─▶ y[n]
        │   │           │      ▲
        └───┴─────×a₁───┴──×a₂─┘

它的特点是：

只需两个延迟寄存器；运算并行、延迟短；稳定性好、数值精度高。

现代 ADC（如 ADS127L21）或 DSP（如 SHARC）内部的 IIR 滤波器就是由多个转置型 biquad 级联组成的。

在后面有滤波器的结构

在后面有滤波器的结构

为什么叫 “biquadratic”

“Biquadratic” 的字面意思是：

“二次项分子 + 二次项分母”的系统。

因为：

分子、分母都是二次（quadratic）方程→ 所以“bi-quadratic”（两个二次方程）简称 biquad。

高阶滤波器的分解

任何 N 阶 IIR 都可以分解成若干 biquad：

每个节内部独立，整体输出为级联形式：

这样做的好处：

每个 biquad 的极点可单独控制；调试更稳定；系数量可控；数值精度更高（定点时尤其明显）。

实际高通二阶节

分子零点在 ±ω₀ 处 → 高通；分母极点在单位圆内 → 稳定；响应陡峭、振铃轻微；实现时只需两个延迟、四个乘法、三个加法。

二阶节（Biquad）结构 是实现 IIR 滤波器的标准模块，每个节都实现一个二阶传递函数，具有 2 个极点 + 最多 2 个零点。

IIR 的频率响应特性

由系统函数 计算：

典型特征：

截止带陡峭；通带/阻带波纹取决于滤波族；相位非线性（延迟随频率变化）；稳定性依赖于极点位置（必须在单位圆内）。

IIR滤波器能在更低阶数下实现更陡峭的频率选择性

什么叫“频率选择性陡峭”？

滤波器的主要任务是区分：想要的频率（通带），不想要的频率（阻带）

理想情况下希望：

通带 → 完全通过

阻带 → 完全抑制

过渡带 → 越窄越好（越“陡”越“好”）

为什么 IIR 可以“更低阶”实现同样的效果？

关键在于：

IIR 有反馈，而 FIR 没有。

FIR：只依赖输入信号 → 响应有限；

IIR：还依赖过去的输出 → 可以“反复利用能量”，让频率响应更陡峭。

数学上：

FIR → 只有分子 ：平滑、有限、过渡带较宽；

IIR → 多了分母 ：可形成极点（poles），让响应陡峭；极点越靠近单位圆 → 滤波器越“尖锐”。

频率响应比较示例（公式层面）

FIR 低通（举例）：

曲线

→ 没有极点，靠系数叠加构造“近似砖墙”滤波器。 → 阶数越高，过渡带才会更窄。

IIR 低通（举例）：

→ 由极点位置决定过渡陡度； → 阶数 N 越大，响应越陡；但即便 N=4，也已经很“锐利”。

工程上的选择

所以在实际设计中常见的策略：前端抗混叠、过采样 → 用 IIR（Butterworth / Chebyshev）；后端高精度滤波、均衡 → 用 FIR（线性相位）。

IIR 滤波器 通过反馈形成极点，使频率响应能量集中，只需更低阶数即可实现更陡峭的截止特性。它的优势是计算效率高、滤波陡峭；代价是相位非线性，需要注意稳定性（极点必须在单位圆内）。

对比

对比

在相同截止频率（100 Hz）下：

IIR（4 阶 Butterworth）：截止处非常陡峭，只用 4 阶就能达到接近“砖墙”的效果；说明反馈极点让响应更尖锐。

FIR（40 阶 Hamming 窗）：过渡带较宽，衰减更平滑；即使 10 倍以上的阶数，也没有 IIR 那么陡峭。

IIR 通过反馈形成极点 → 更高的“频率选择性”；FIR 靠线性叠加实现近似 → 需要更多抽头、更高阶。 这就是为什么在资源受限或带宽要求高的系统里，通常选择 低阶 IIR 作为主滤波结构。

IIR 滤波器的时域特性

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随时间指数衰减，有“尾迹”——这就是 IIR 的 “无限冲激响应”。

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稳态值 ≈ 1.0000（单位阶跃）

最大超调 ≈ ~几 %（Butterworth 高阶会有轻微超调）

1% 稳定时间：在图中已标出（代码按“连续 50 ms 进入 ±1% 带”统计）

—— 阶跃响应关键指标 ——
稳态值 ≈ 1.000000
最大超调 ≈ 11.907 %
1% 稳定时间（连续50 ms判据）≈ 0.0200 s

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对多频正弦（50 Hz + 200 Hz) 的瞬态响应：输出中 200 Hz 分量迅速被压低，50 Hz 基本保留。

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—— 白噪声方差对比 ——
输入方差 ≈ 0.9567
输出方差 ≈ 0.1824
方差变化（dB）≈ -7.20 dB  （负值=方差降低）

对白噪声的时域平滑：方差从 0.9567 降到 0.1824，对应 ≈ −7.20 dB 的方差降低（等价于时域能量的减少），直观看到波形被平滑。

后记

感谢大家看到这里，最后写一点 ADC 的东西。

在高精度测量、音频或工业控制中， ADC（模数转换器）采集的信号经常会受到噪声、干扰、以及混叠 (aliasing) 的影响。

传统做法是：在 ADC 前加 **模拟抗混叠滤波器 (Analog AAF)**；在 ADC 后用 FPGA / DSP 实现数字滤波器。

但问题是：模拟滤波器设计复杂、体积大；FPGA 滤波消耗功耗、开发周期长；传统 Δ-Σ ADC 内部滤波器不可修改。

因此，现在大家都是推出了新架构的 Δ-Σ ADC（如 ADS127L21），它在芯片内部集成了 可编程 FIR + IIR 数字滤波器；用户可以在 ADC 内直接实现自定义滤波功能，无需外部 FPGA 或模拟滤波电路。

Δ-Σ ADC 中的数字滤波器

Δ-Σ ADC（如 ADS127L11 / ADS127L21）依赖过采样 (Oversampling) 来提升分辨率。

内部数字滤波器执行：

1. 低通滤波；
2. 抽取 (Decimation)。

常见两种数字滤波结构：

散会

散会

从ADS127L18 看宽带滤波器

Σ-Δ型ADC内的宽带数字滤波器（Wideband FIR）