认知超图与超超图：复杂关系建模新框架

Cognitive HyperGraphs and SuperHyperGraphs: A Novel Framework for Complex Relational Modeling

认知超图与超超图：复杂关系建模新框架

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摘要

图论通过由顶点（节点）和边（连接）构成的数学结构来探索对象之间的关系。超图通过引入超边推广了经典图，超边可以连接任意数量的顶点，而不仅限于两个，从而能够对更复杂的多向关系进行建模 [1]。在此基础上，超超图（SuperHyperGraph）的概念被引入作为超图的进一步扩展，最近已成为活跃的研究课题 [2–4]。

认知图是一种旨在表征空间环境心理模型的结构，它利用节点、边和标签来编码位置、方向和导航线索等信息 [5, 6]。密切相关的概念包括认知地图，它在人工智能、社会科学和计算机科学等领域得到了广泛研究。

在本文中，我们提出了两种新的扩展模型：认知超图（Cognitive HyperGraph）和认知超超图（Cognitive SuperHyperGraph），它们利用超图和超超图理论增强了传统的认知图框架（参见 [7]）。我们希望这些贡献能促进认知建模及其在人工智能、社会科学和计算科学等学科应用的进一步发展。

关键词：认知图，超图，超超图，图论

1. 预备知识

本节介绍了整篇论文讨论所需的基本概念和定义。除非另有说明，本文考虑的所有结构均假定为有限的。

1.1. 超超图

超图是经典图的推广，其中超边可以连接任意数量的顶点，而不局限于两个 [8]。该框架能够对更复杂的多向关系进行建模 [1, 9–12]。超超图是超图概念的一个较新的扩展，已在文献中引起了越来越多的关注 [2, 3, 13, 14]。它可以被视为建立在超图之上的递归结构，其中构建涉及幂集操作的连续应用，从而产生了 n 阶幂集的概念 [15]。由于其能够捕捉现实世界系统中观察到的层级结构，超超图已成为各个领域广泛研究的主题 [16–20]。正式定义如下所示。

定义 1.1（幂集）。 对于给定集合 S，S 的幂集写作 P(S) ，是 S 的所有子集构成的族：

这表示同时选择一个包含 Ayako 的子组和一个包含 Taro 与 Kenji 的子组。这捕捉了家庭内部诸如“联盟”之类的更高级别的分组。

示例 1.4（课程体系设计）。设基集为一组少量的学科：

V 的元素称为 n 阶超顶点（n-supervertices），EE 的元素称为 n 阶超边（n-superedges）。特别地，每个 n 阶超边都是 VV 的子集，从而将超边的概念推广到了 n 阶幂集层面。

示例 1.7（组织层级结构）。考虑一家公司拥有有限的员工基数：

能够表示大规模社交媒体结构，其中 2 阶超顶点是元社区（群组的集群），而 2 阶超边捕捉这些元社区之间的关系，如共同兴趣或重叠的成员资格。该模型允许表示复杂的多层社会动态。

1.2. 认知图

认知图通过使用节点、边和标签来编码位置和导航知识，从而对空间环境的心理表征进行建模 [5, 6, 25]。一个密切相关的概念是认知地图，它已在认知科学中得到广泛研究 [26–28]。正式定义如下所示。

定义 1.9（认知图）。（参见 [5, 6]）设 S 为一个非空的显著位置集合（例如地标或路口）。认知图是一个四元组：

用法： 通勤者利用该认知图，通过考虑连通性、线路换乘以及重要站点之间的预估行程时间来规划路线。

2. 结果：认知超图

在本节中，我们提出认知超图的形式化定义（参见 [7]）。

定义 2.1（认知超图）。 设 SS 为一个非空的显著位置集合（例如地标或路口）。认知超图是一个四元组

解释：该认知超图建模了学生如何在心理上将校园建筑分组为功能区域——学术、社交、休闲和行政——从而支持在整个校园内的导航和规划。

4. 结论

在本文中，我们引入了两种扩展模型：认知超图和认知超超图，它们通过运用超图和超超图理论（参见 [7]），推广了经典的认知图框架。

对于未来研究，我们旨在探索针对这些新结构量身定制的图算法设计，以及通过融入其他高级数学框架（例如元图 [29, 30]、模糊集 [31–33]、双向图 [34–36]、 neutrosophic 集 [37–39]、超模糊集 [40–43]、软集 [44,45]、近集 [46–48]、 Plithogenic 集 [49–51] 和直觉模糊集 [52, 53]）所带来的潜在扩展。