可积系统、弱可积系统和不可积系统

Lax Pairs: Integrable, Less Integrable and Nonintegrable Systems

可积系统、弱可积系统和不可积系统

https://arxiv.org/pdf/2603.09224

摘要.

得益于刘维尔和阿诺德的工作，完全可积的有限维哈密顿系统已得到充分理解。另一方面，KdV方程的Lax对表述标志着完全可积理论向无限维哈密顿系统扩展的开端。对于允许Lax对表述的系统，若Lax对能导出一个无穷完备的守恒律集合，其初值问题的解通常具有良态（温和）的定性行为。然而，即使在一维空间中，初边值问题的情况也有所不同。存在一些问题，其可积性得以保持，且可证明其具有规则（长时间渐近）行为；也存在另一些问题，其中甚至会出现不规则的“具有分形混沌外观的”行为。在这篇短文中，我们回顾了每种情况的一个实例。我们还将本文内容与实直线上受扰Lax对方程现有理论的结果建立了联系。

1. 引言

KdV方程的Lax对表述[20]标志着完全可积系统理论向无限维哈密顿系统扩展的开端。对于允许Lax对表述的系统，若其初值满足无穷远处的某种衰减或收敛条件或是周期性的，则其初值问题已得到充分理解，这使得通过反演方法（反散射或反谱代数几何方法）求解成为可能。一个关键事实是，Lax对会产生无穷多个守恒律。通过选取适当的初值以确保守恒量为有限，并对系统进行适当约化以存在一组完备的作用量-角变量，该系统在如下意义下是完全可积的：其解可归结为求解（一维空间情形下的）（局部）Riemann-Hilbert分解问题，或（高维空间情形下的）非局部Riemann-Hilbert分解问题或 ∂ˉ∂ˉ-问题。此类问题通常定义在黎曼曲面上，且适合进行渐近分析。对于局部Riemann-Hilbert分解问题，人们应用所谓的非线性稳相法和最速下降法；已有大量文献，例如参见[9]、[19]。对于 ∂ˉ∂ˉ-问题，结果较少（例如Perry [22]）；对于非局部Riemann-Hilbert分解问题，参见Donmazov、Liu和Perry [11]。

然而，对于初边值问题，情况则有所不同，即使在一维空间中也是如此。存在反演方法的一种推广（即由Fokas及其合作者发展的“统一变换方法”）[12]、[13]、[14]、[15]。但该方法的一个关键特征是，它所需的边界数据值比适定问题所给定的要多。这带来了两个重要后果。首先，它在某种程度上降低了渐近公式的有效性程度，因为这些公式涉及与Dirichlet数据和Neumann数据均相关的散射数据信息；而Neumann数据仅以非常隐含的方式给出。如果我们能证明Dirichlet-to-Neumann映射是稳定的，这还不算太糟。然而最关键的是，给定适当类别（以使统一变换理论适用）的某些Dirichlet数据，Neumann数据是否也落在可处理的类别中，这完全不清楚。这是继续推进前必须解决的问题。

更具体地说，在三次NLS情形下，Dirichlet数据的知识足以使问题适定，但统一变换方法还需要Neumann数据的值。因此，在应用统一变换之前，研究Dirichlet-to-Neumann映射是必要的。在文献[1]、[2]中，我们对一大类衰减Dirichlet数据的该映射进行了严格研究。我们证明了Dirichlet-to-Neumann映射是稳定的，且Neumann数据也具有充分的衰减性，从而统一变换方法可以应用。这些结果将在下一节中给出。

在第三节中，我们讨论长时间渐近行为，若Neumann值属于适当类别，则可通过Riemann-Hilbert方法予以证明。

在第四节中，我们展示了Arthur、Dorey和Parini进行的一些精美的数值实验，这些实验清楚地表明，具有初值和Robin边界条件的Sine-Gordon初边值问题的行为中存在不规则性。此外，Dirichlet边界函数 u(x,0) 似乎是无界的。这是一个清晰的实例，说明某个允许Lax对表述的问题却不可积：添加边界和边界条件，即使确保问题唯一可解，也可能保持或不保持可积性！

在第五节中，我们将关于初边值问题的结果与Lax方程扰动初值问题的现有结果进行比较。在第六节中，我们展示了一个尚未能证明Neumann值具有适当衰减性的问题的数值结果。尽管如此，所得结果仍与假设其衰减时所预期的相符。

2. NLS

考虑定义在实正半轴 R+ 上的具有三次非线性的NLS方程

另一方面，众所周知[23]，具有三次非线性的非线性薛定谔方程（NLS）可以写成Lax对的形式，并且至少Cauchy问题是“完全可积”的；这意味着存在无穷多个处于Poisson对合（Poisson involution）中的守恒律，此外该问题可以通过散射变换线性化。这并不意味着存在真正的显式解（bona fide explicit solution）。充其量，反散射问题（重写为Riemann-Hilbert分解问题）可以进行有效的渐近处理。可以提供有效的长时间、长距离和半经典渐近公式：它们要么非常显式地依赖于初值，最坏情况下也仅通过求解简单的线性常微分方程组（ODEs）来依赖。

在[15]中，作者利用统一变换方法（unified transform method）求解实正半轴上的问题，给定了初值和Dirichlet数据（这使得问题适定）以及Neumann值 P(t):=qx(0,t)。该理论运作所要求的是Neumann函数（以及Dirichlet数据）属于某个具有良好衰减性质的类，以便统一散射变换能够被恰当定义。这正是我们要给出的定理的内容：我们提供了几个相当包容的大类Dirichlet数据，使得Dirichlet和Neumann值在 t→∞ 时衰减得足够快，从而散射方法可以运作。因此[15]适用，Riemann-Hilbert分解问题是可能的，并且显式渐近公式（长时间[15]、长空间，甚至是半经典[18][16]）是可用的。这些公式不如Cauchy问题的公式有效。原因是通常情况下Dirichlet-to-Neumann映射是非常隐含的。因此，出现在渐近公式中的一些函数涉及与Neumann边界值相关的散射数据；这些无法被有效计算。尽管如此，这里的Dirichlet-to-Neumann映射是连续的；在后面的章节中，我们将考虑依赖性可能非常不稳定的更复杂问题。

我们关于散焦情形的主要结果如下，参见[2]。

此外，如果 Dirichlet 数据属于 Schwartz 类，那么 Neumann 数据也属于 Schwartz 类。Dirichlet-to-Neumann 映射在适当的空间中是连续的。

如前所述，这意味着 Riemann-Hilbert 分解问题是可能的，并且可以得到显式的长时间渐近公式。 在下一节中，我们将给出散焦情形的主要长时间渐近公式。

3. 长时间渐近性

从 Riemann-Hilbert 表述中，人们可以推导出精确的长时间渐近性。对于散焦 NLS，这最早是在 [8] 中完成的。他们的计算是针对初值问题的。然而，由于初边值问题的 Riemann-Hilbert 问题实际上非常相似，同样的计算得出了如下长时间渐近性，正如 [15] 中所引用的，

如果没有孤子存在，在聚焦情形下也成立一个非常相似的渐近公式（这在 [1] 中对于零初值数据和小 Dirichlet 数据已被证明为真）。然而，一般情况下，假设统一理论适用，人们将不得不加上一组孤子项的和。在长时间下，这些孤子会分离，最高的也是最快的。因此，对于一组有限的特定 x/t值（对应于孤子速度），主导渐近项由一个 1-孤子公式给出，其参数依赖于对应于给定（初值和 Dirichlet）数据以及 Neumann 值的散射系数！关于实际细节，参见 [15] 的附录 B。当然，如果我们不知道如何控制 Neumann 值——而目前我们确实不知道——就没有什么被严格证明。充其量我们可以提供一些令人信服的数值结果来表明情况确实如此：渐近性由一组有限个向右传播的孤子和一个衰减项给出。这正是我们在第 6 节中所做的。

我们在本节最后简要评论一下周期情形：考虑具有衰减初值数据和周期性 Dirichlet 数据的聚焦 NLS。解在长时间下是否是渐近周期的，这是一个未决问题（open question）。同样，一个关键的要素将由关于 Neumann 值的渐近周期性的信息提供。关于一些理论分析和一些数值结果，我们参考文献 [4]，这些结果暗示在某些情况下存在“可积性”，但该问题在一般情况下仍然是未决的。

4. 具有Robin边界条件的Sine-Gordon方程

遵循[3]，我们考虑方程

5. 与实直线上受扰NLS的比较

6. 半直线上聚焦NLS的数值逼近

7. 结论。接下来是什么？

允许Lax对表述的偏微分方程的初边值问题可以导出完全可积系统，这些系统能够通过反散射和Riemann-Hilbert变形方法进行处理。然而，即使对于一些最简单的Lax对方程，也存在某些初边值问题，其中看似合理的数据会引发不规则的“分形-混沌”行为，导致（现有的）反演方法无法适用。

我们能否更好地理解这种情况何时发生以及为何发生？能否给出分别导致可积性与不可积性的完备边界条件集合？不可积性是否存在多个程度（或层次），其范围从存在更明确或较不明确的渐近公式，到表现出完全不规则且无法局部描述的行为？是否存在这样一种可能：Lax对的存在（或某种意义上的可积性）与具有恰当自相似结构的真正分形行为的存在相关联？

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2603.09224