超图族上的变换

超图族上的变换

Transformations on hypergraph families

https://arxiv.org/pdf/2309.13641

摘要

我们提出了一种关于有限超图族上基于函数的超图变换的新的一般理论。基于函数的超图变换形式化了以一致的方式对来自一个族的超图进行结构修改的操作。这些变换的数学形式便于对其进行分析并将其纳入更大的数学结构中，同时也与物理世界建模中基于函数的特性相一致。由于超图的商能够实现其简化和比较，我们还讨论了由超图族顶点集上的等价关系所诱导的商超图变换的概念。最后，我们通过两类涉及添加或删除超边或超图的基本示例来演示基于函数的超图变换。

1 引言

超图变换作用于给定的超图，以产生具有特定修改的新超图，例如添加或删除一条超边，或用另一个子超图替换某个子超图。因此，超图变换提供了两个超图之间结构关系的形式化描述，这种描述比由超图同态诱导的变换更为一般，并在纯数学和应用数学中有着广泛的应用，包括谱图理论 [1]、图相似性 [2]、最大稳定集问题 [3]、网络分析 [4–6]、工程设计 [7] 以及理论计算机科学 [8–10]。超图变换的表达形式取决于具体应用，可以是描述性的、基于规则的或基于函数的。由于在理论计算机科学中的实用性，基于规则的超图变换（即通过算法修改超图）受到了最多的关注 [8]。

超图作为具有高阶交互作用的复杂系统模型，正越来越多地应用于自然科学的许多领域 [11,12]，其中超图变换可以表示动态系统的行为 [13–15]。基于函数的物理现象表示在自然科学中是基础的，因此将超图变换表达为函数与数学建模中所采用的一般数学形式体系相一致。此外，基于函数的超图变换可以容易地融入具有附加结构的更大数学对象中，从而允许开发更详细的数学模型并应用新的数学分析技术：例如，超图变换的偏序集可以表示动态过程的层次系统。虽然存在一些基于函数的超图变换的实例 [2]，但文献中尚未描述适用于自然科学背景下的基于函数的超图变换的一般理论。

在本文中，我们介绍并发展了一种基于函数的超图变换的新方法，其中每个变换都定义在一个有限超图的有限族上，并一致地作用于其定义域中的所有超图。鉴于商超图概念的重要性——它有助于超图的简化和比较——我们还考虑了商超图变换的概念。我们通过两类涉及添加或删除超边以及添加或删除超图的基本示例来说明这一一般理论。

2 预备知识

在本节中，我们讨论初步的符号、定义和结果。我们首先回顾超图、其子结构以及连通性。

3 超图变换

3.1 定义与基本性质

我们对超图变换的定义需要以下极大性的概念。

3.2 超图变换的示例

在这里，我们讨论超图变换的两个主要例子，即超边添加/删除和超图添加/删除，以及一种组合的超图-超边添加变换。

3.2.1 超边添加/删除超图变换

X

3.2.2 超图添加/删除超图变换

3.2.3 组合超图-超边添加超图变换

在这里，我们提供一个超图变换的示例，该变换先执行超图添加，随后进行超边添加。

4 商超图变换

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原文链接：https://arxiv.org/pdf/2309.13641