消光神器：偏振镜的数学建模（文末抽奖）

这次的展会拍摄我使用了 R10+RF28 拍摄，然后根据以往的经验来看，会场的灯光很复杂，其实对相机很不友好，另外还有不少东西是隔着玻璃的，那怎么办？

参数

参数

其实有个滤镜叫偏振镜，可以消光获得良好的拍摄效果，全网也没有比较好描述原理的文章，那我就补一个！

什么原理？

本质上：玻璃反光属于镜面反射，镜面反射会把原本无偏振的环境光变成“部分线偏振光”；偏振镜相当于只允许某一方向的电场通过，所以旋转偏振镜时，可以把反光中占主导的偏振分量压下去。

建模型：光是电磁波

光的电场可以写成：

其中 表示电场振动方向；所谓偏振，就是电场振动方向的统计特性。

普通环境光，比如天空光、灯光、墙面散射光，通常可以近似看作无偏振光；无偏振光可以分解成两个互相垂直、强度相等的分量：

这里的 和 是相对于玻璃表面的入射平面定义的：

偏振：电场垂直于入射平面； 偏振：电场平行于入射平面。

玻璃反光为什么会偏振？Fresnel 反射系数不同

光从空气射到玻璃，设空气折射率，玻璃折射率。入射角为，折射角为，满足 Snell 定律：

玻璃表面对 和 两种偏振的反射率不同：

反射后的两个分量强度变成：

关键点是：

所以反射光不再是无偏振光，而是部分线偏振光。

玻璃在某个角度会让反光高度偏振：Brewster 角

当入射角满足：

时， 偏振反射理论上为 0：

对于空气到普通玻璃：

也就是说，光以大约 入射玻璃时，反射光几乎只剩下 偏振分量；这就是偏振镜消玻璃反光最有效的角度来源。

偏振镜的数学模型：Malus 定律

线偏振镜只允许电场沿某一个方向通过；设偏振镜透光轴与 偏振方向夹角为，则反光通过偏振镜后的强度为：

代入上面的反射强度：

如果反射光主要是 偏振，那么让偏振镜透光轴接近 方向，也就是：

则：

而如果偏振镜透光轴与 方向一致：

则：

所以反光的最小/最大比值为：

在 Brewster 角附近，，于是：

这就是所谓的“消光”。

用数值看一下效果

以空气到玻璃， 为例：

可以看出，在 这个范围，玻璃反光已经明显偏振化，所以偏振镜特别有效。

为什么偏振镜消的是反光，而不是把整个画面都消掉？

画面里有两类光：

第一类：玻璃表面反射光

这是讨厌的反光，强烈镜面反射，而且偏振方向比较集中；设反光为：

偏振镜调整到合适方向后，主要压制，剩下：

在 Brewster 角附近：

所以反光明显变暗。

第二类：物体本身发出或散射来的光

例如玻璃后面的商品、鱼缸里的东西、橱窗里面的物体，它们多数是漫反射光，可以近似看作无偏振光；无偏振光经过线偏振镜，平均只损失一半：

所以偏振镜的作用不是“所有光都消掉”，而是：

反光被大幅削弱，真实物体只损失约一半亮度

这会显著提高画面对比度。

可以定义一个简单的反光抑制前后对比：

改善倍数

如果有用信号 近似无偏振，反光主要是 偏振，则：

改善倍数

当 很小时，这个改善倍数会非常大。

用 Stokes 参数写得更系统一点

如果用偏振光学里的 Stokes 向量表示，入射无偏振光可以写成：

经过玻璃反射后：

线偏振程度为：

当 时：

说明没有偏振化。

当 时：

说明反射光接近完全线偏振。

偏振镜角度为 时，输出强度：

对于玻璃反光，，，所以又回到：

这是严格建模的线性投影过程。

为什么有时候消不干净？

主要有几个原因；首先入射角不在 Brewster 角附近。如果是正对玻璃拍摄，，此时：

反光几乎不偏振，偏振镜就很难消掉。

玻璃是曲面或者表面不平导致不同位置的局部入射平面不同，偏振方向也不同；一个线偏振镜只有一个透光轴，无法同时消掉所有方向的反光。

还有我说的反光来源复杂；在室内灯、多个窗户、天空、墙面都可能参与反射，它们对应不同入射角和偏振方向；另外玻璃可能有镀膜、多层结构、夹胶层；多层介质会产生多次反射和相位变化，偏振状态可能从线偏振变成椭圆偏振，普通线偏振镜只能消掉其中一部分。在遇到金属时，金属反光不一样。金属反射没有普通玻璃那种明显的 Brewster 消零点， 和 都可能很大，而且有相位差，所以偏振镜对金属反光通常没有对玻璃、水面、塑料表面那么有效。

为什么拍玻璃、水面、漆面、塑料都有效？

这些都是介质表面反射，不是纯金属反射；介质表面的 Fresnel 反射都会出现：

在某些角度附近， 分量反射很弱，反射光自然变成强偏振光。

因此偏振镜对下面这些情况通常有效：橱窗玻璃反光；车窗反光；水面反光；树叶表面高光；塑料外壳反光；油漆表面反光；陶瓷釉面反光，但对于金属表面、镜子、复杂多层镀膜表面，效果会弱很多。

CPL 滤镜？

摄影里常用的是CPL，圆偏振镜，本质上是：

线偏振片四分之一波片

真正负责消反光的是前面的线偏振片；后面的四分之一波片主要是为了让通过的线偏振光变成近似圆偏振光，避免影响相机的自动对焦、测光或者某些分光器件。

所以从消玻璃反光的角度看，核心仍然是：

旋转线偏振方向，使它阻断反光的主偏振分量

玻璃反光之所以能被偏振镜压下去，是因为玻璃表面的镜面反射对 偏振和 偏振的反射率不同：

反射光因此从无偏振光变成部分线偏振光。在线偏振镜前，反光强度可以建模为：

当拍摄角度接近 Brewster 角：

对于普通玻璃约为：

模拟

好像以前软件叫 ZMAX，无所谓了，这里就写个简单的脚本；用三个图来模拟：玻璃 Fresnel 反射率、反射光偏振程度、旋转偏振镜后的反光强度变化。

关键数值

Brewster angle = 56.310 degree

angle(deg)     Rs          Rp          DoLP        Rp/Rs
   0.000     0.040000    0.040000    0.000000    1.000000
  30.000     0.057796    0.025249    0.391918    0.436866
  45.000     0.092013    0.008466    0.831479    0.092013
  56.310     0.147929    0.000000    1.000000    0.000000
  60.000     0.176571    0.001802    0.979796    0.010205
  70.000     0.299595    0.042490    0.751580    0.141826

小结

摄影挺有意思的，我也喜欢，每次摁下快门的咔嚓声都让人很享受，但是里面蕴含的光影道理也是极其迷人的；作为一个信号 er，也迷人。