导纳力控的离散化方法：显示/隐式欧拉

在机械臂末端导纳控制的实现中，需要将连续的导纳微分方程离散化，以便在每个控制周期根据力传感器读数更新位置指令。常用的离散化方法就是显式欧拉法和隐式欧拉法。

• 显式欧拉：用当前时刻的导数更新状态，下一时刻状态直接算出，公式显式给出。
• 隐式欧拉：用下一时刻的导数更新状态，下一时刻状态隐含在方程中，需要求解。

显式欧拉和隐式欧拉都是对同一个连续微分方程的离散化近似，它们的目标都是：在离散时间点 t0,t1,t2,…上近似真实状态 x(t) 的值。但真实状态 x(t)x(t) 是连续变化的，计算机只能在离散时刻采样，无法精确知道中间的变化过程，所以只能用某种近似规则来估计下一时刻的状态。

1. 导纳控制方程回顾

以一维导纳模型为例：

其中：

• Δx：位置修正量；
• Md,Bd,Kd：导纳质量、阻尼、刚度参数值；
• eF：力误差。

为了数值求解，把它写成一阶状态方程。令状态变量为：

因此：

离散化就是在每个采样周期 h 内，把这两个连续导数关系变成递推公式。

2. 显式欧拉法

显式欧拉法用当前时刻 k 的导数来外推下一时刻 k+1的状态，递推公式：

特点

• 等号右边全部是已知量（当前状态和当前力误差）；
• 下一时刻状态 Δx_k+1,Δv_k+1 被直接、明确地表示出来；
• 无需解方程，计算量小，实现简单。

显式概念

因为公式中 Δx_k+1 和 Δv_k+1在等号左边单独出现，右边不含它们自身。下一时刻的状态显式地表达为当前状态和输入的函数，不需要求解。

3. 隐式欧拉法

隐式欧拉法用下一时刻 k+1 的导数来更新状态，递推公式：

特点

• 等号右边含有待求的 Δv_k+1 和 Δx_k+1，它们同时出现在方程两边；
• 不能直接算出，需要解线性方程组，或者用迭代法（如牛顿迭代）求解；
• 计算量比显式欧拉大，但数值稳定性更好。

求解

将两个方程联立，消去 Δx_k+1，可整理出关于 Δv_k+1的线性方程：

然后解得 Δv_k+1，再代入位置更新方程即可。

隐式概念

因为下一时刻状态 Δx_k+1,Δv_k+1 隐含在方程中，不能直接写出解析表达式，需要求解方程才能得到。

4. 对比

从数学形式看：

• 显式：用“当前时刻的斜率”来估计下一时刻的状态，x_k+1在等号左边，右边没有 x_k+1；
• 隐式：用“下一时刻的斜率”来估计下一时刻的状态，x_k+1同时出现在等号左边和右边，需要通过方程求解。

它们都不是微分方程的精确解，而是不同的近似方法。当采样步长 h 趋近于 0 时，两者的结果都会收敛到真实解，但它们的误差特性和稳定性不同。

5. 数值示例

考虑微分方程：

精确解是

，迅速衰减到 0。

取步长 h=0.02h=0.02：

• 显式欧拉：

序列变成 1,−1,1,−1,…振荡发散，完全错误。

• 隐式欧拉：

序列变成 1,0.333,0.111,0.037,…稳定衰减，与真实解趋势一致。 这说明：在这个刚性系统中，显式欧拉完全不可用，隐式欧拉仍然可用。但对于步长 h=0.001h=0.001，两者都表现良好。

6. 在导纳控制中的意义

在末端导纳控制中：

• 若控制周期足够小（如 1 ms），且虚拟质量 Md和虚拟刚度 Kd不大，显式欧拉法通常足够，且实现简单。
• 若虚拟刚度较大或控制周期受限制，显式欧拉可能不稳定，此时可选用隐式欧拉法，它允许较大步长且数值阻尼能帮助系统稳定。
• 实际工程中还常用半隐式欧拉法（速度用新加速度，位置用新速度），它结合了两者的优点，也是许多物理仿真和控制器中采用的方法。